為什么動能公式與彈性勢能公式有驚人的相似性
你可以這么看，動能和勢能都是能量的一種，就像你說的那樣，動能可以看作由于外力作用于物體做功導(dǎo)致該物體速度的增加而具有動能，動能顯然應(yīng)該等于外力所作的功。
同樣彈簧的彈性勢能也是由于外力作用于彈簧的一端做功導(dǎo)致彈簧變形而具有彈性勢能，同樣彈簧的彈性勢能也應(yīng)等于外力所作的功。
我們知道外力做的功等于外力作用點在外力作用下移動的距離，仔細觀察一下，上述兩種現(xiàn)象的異同點表現(xiàn)如下：
a、作為增加動能的例子，我們可以舉兩種，一種是在一個恒定力作用下，該物體從速度為零增加到v，這時，加速度為
a = F/m,
我們就知道了需要的時間為
t= v/a = mv/F,
由于加速度不變，平均速度顯然是
Vp = (0 + v)/2 = v/2，
因此外力的作用點移動的距離，也就是物體移動的距離等于
l = mv/F * v/2 = (1/2)mv^2 /F
外力做的功為：
E = F * L = (1/2)mv^2 (注：^2表示平方)
這種情況相信你也能推導(dǎo)
增加動能的第二例子，我們可以選一個變化的外力，我們可以假定這個力與物體移動的距離滿足下式，方向指向l0所在位置，亦即
F = k(l-l0)，建立以I0為原點的坐標系，則上式表達為：
F = -kx
這個力顯然是的物體從原來的起點-l0點向坐標原點運動，并在坐標原點達到最大v，過l0點后開始減速，從零點運動到l0點，外力沿移動方向上的平均值為：
Fp = kl0 /2
變化的外力所做的功,也就是物體獲得的動能應(yīng)該是
E = Fp * l0 = (1/2)kl0^2
我們可以得到每一位置的加速度為：
a = F/m = -(k/m)x
我們計算l0,也就是計算需要多長距離可以加速到v呢？這個計算起來比較復(fù)雜，注意到dl/dt = v，a = dv/dt有
x'' = -(k/m)x, x''代表x對t的二階導(dǎo)數(shù)。
最終可以計算出(邊界條件t=0，x=-l0)
x(t) = -l0 * cos(((k/m)^(1/2))t)
過原點的時間是π/(2(k/m)^(1/2))
求導(dǎo)計算出速度公式
v =l0 * (k/m)^(1/2)sin(((k/m)^(1/2))t)
v(t=0) = l0 * (k/m)^(1/2),
求解k，得到
k = mv^2 /l0^2
代入上面的獲得動能計算公式得到：
E = (1/2)kl^2 = (1/2)mv^2 /l0^2 * l^2 = (1/2)mv^2
由此可以得到
E= (1/2)mv^2
b、作為增加彈性勢能的例子，教科書上有推導(dǎo)，類似于a的第二種情形。也就是
平均彈力為最終彈力的一半
增加的彈性勢能為
E = (1/2)kx^2
綜合a，b，我們似乎看不到什么結(jié)論，但是從數(shù)學(xué)角度上看，我們都用到了一個線性函數(shù)y=kx下邊圍的面積為題，這實際上是一個積分問題，在線性函數(shù)這種特例下轉(zhuǎn)換為了平均值乘以區(qū)間長度，線性函數(shù)在區(qū)間的一個端點（原點）為零，另一個端點達到最大kx，平均值恰巧是1/2kx，因此就有了 S = （1/2）kx * x = (1/2) kx^2，彈力的是這樣，物體的動能也是這樣。另外a中的第二種情況世紀的物理意義時一根無質(zhì)量的彈簧可移動的端點掛上一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，代表了質(zhì)點的動能和彈簧的勢能的轉(zhuǎn)換。
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ps：都是晉江的~~
bl bg 都標得清楚。
